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控制系统的稳定性标准
 

【作者: Christophe Basso】2013年12月02日 星期一

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在电子领域,振荡器是一种能够产生自激正弦讯号的电路。在多种多样的配置中,振荡器的加速过程牵涉到采用振荡器的电子电路固有的杂讯。上电时杂讯等级上升,此时开始振荡及自激。此类电路可采用图1所示的构成模组组成。如您所视,此配置看上去非常接近于我们控制系统的配置。



图一 : 振荡器实质上是一种误差讯号,不会妨碍输出讯号变化的控制系统。
图一 : 振荡器实质上是一种误差讯号,不会妨碍输出讯号变化的控制系统。

在我们的示例中,励磁输入并非杂讯,而是电压电平Vin,它被注入为输入变数以启动振荡器。直接通道由传递函数H(s)构成,而返回通道包含G(s)区块。


所谓的巴考森(Barkhausen)标准,由德国物理学家Barkhause在1921年提出。实际上讲,在一个控制回路系统中,它表示修正讯号不再抗拒输出,而是相位形式返回,振幅恰好与励磁讯号相同。公式(6)和(7) 在波德图(Bode plot)中表示回路增益曲线,此曲线穿过0dB轴,且恰好在此点受180°相位滞后影响。



图二 : 振荡条件能以波德图或奈奎斯特图来表述
图二 : 振荡条件能以波德图或奈奎斯特图来表述

在奈奎斯特分析中,回路增益的虚数及实数部份相对频率的变化关系被绘制成图,此点对应于-1, j0。图2显示了满足振荡条件的两个曲线。如果系统略微偏离这些值(如温度漂移、增益变化),输出振荡要么会以指数形式下降至0,要么振幅发散,直到达到较高或较低的电源轨。在振荡器中,设计人员竭力尽可能多地降低增益余量,使振荡条件在多种工作条件下都能满足。


稳定条件

如您所知,控制系统的目标不是构建振荡器。我们希望控制系统提供高速、精确及无振荡的回应。因此,我们必须避开满足振荡或发散条件的配置。一种方式是限制系统会作出反应的频率范围。


就定义而言,频率范围或频宽,对应于从输入到输出之闭合回路传输通道下降3dB的频率。闭合回路系统的频宽能被视作频率范围,在此范围内系统被认为会极佳地回应其输入(即遵循设定点或有效地抑制扰动)。


我们在后文会看到,在设计阶段,我们并不直接控制闭合回路频宽,但会控制交越频率(crossover frequency) fc——这是一项跟开回路分析有关的参数。这两个变数通常被概略认为相等,但我们会看到这仅在一种条件下成立。然而,它们相差得也不太远,在讨论中这两项能互换。


我们已经看到,开回路增益是我们系统中的一项重要参数。1),系統以動態閉合迴路工作,能補償輸入的擾動或對設定點變化作出反應。"当增益存在时(即|T(s)|1),系统以动态闭合回路工作,能补偿输入的扰​​动或对设定点变化作出反应。


然而,系统反应也存在限制:系统必须在扰动讯号所涉及的频率提供增益。如果设定点变化的扰动太快,励磁讯号的频率成分就低于系统频宽,表示这些频率缺少增益:系统变慢且不会作出反应,工作状态就像回路对波形变化没有回应。那么,是否就要求无限大的频宽呢?


不是的,因为增加频宽就像是拓宽漏斗的直径:您当然可以收集到更多讯息,并对输入振动更快地作出反应,但系统也将接收到伪讯号(spurious signal),如转换器在某些情况下自己产生的杂讯及寄生资料(如开关电源中的输出涟波)。


因此,强制要求将频宽限制在您应用真正要求的范围。采用的频宽太宽将削弱系统的抗杂讯性能(如其抑制外部寄生讯号的强固性)。


限制频宽

我们怎样限制控制系统的频宽?方法就是透过补偿器区块G改变回路增益曲线。此区块将确保在一定量的频率fc后,回路增益的大小|T(fc)|下降至低于1或0 dB。如同我们所阐述的,一旦回路闭合,它大致就是您的控制系统的频宽。


发生此现象时的频率称作交越频率,标作fc。这就是否足够获得强健的系统?不是的,我们需要确保另一个重要参数:幅值为1的点的相位T(s)必须低于-180°。从我们的实验来看,我们已经看到当回路增益在交越频率处低于-180°时,我们获得了朝稳态收敛的回应。这很明显是我们控制系统极想要的一种特征。


为了确保我们在交越时避开-180°,补偿器G(s)必须在选定的交越频率处订制回路幅角(argument)以构建相位余量(phase margin, PM或φm)。相位余量可以被视作一项设计或安全限制,确保在即使存在外部扰动或不可避免的生产差异范围(production spread)的情况下,回路增益的变化不会破坏稳定性。


我们在后文会看到,相位余量还会影响系统的暂态回应。因此,相位余量的选择并不只是取决于稳定性考虑因素,还取决于您期望的暂态回应类型。


图3中显示了经典补偿的典型回路增益曲线,其中显示交越频率为6.5 kHz。在此点,T(s)相位为-90°。如果您想在6.5 kHz时从-180°起步,并正向清点相位度数直至穿越幅角波形,您在此例中就得到90°的相位余量。


这就是一个极为强健的系统,被认为在各种条件下都稳定:即使在交越点附近回路增益有一定程度的变化,也没有可能在相位余量太小的频率交越。所谓的「太小」,我们指的是相位余量接近30°极限,低于此值时系统就提供不可接受的振铃(ringing)回应。这就是?什?您在上学时学习到45°是极限,此值相较于30°而言提供了额外的余量。我们稍后会看到这些数字的来源分析。



图三 : 在此示例中,0dB交越点位于6.5kHz,此频率时总相位滞后提供了90°的相位余量
图三 : 在此示例中,0dB交越点位于6.5kHz,此频率时总相位滞后提供了90°的相位余量

增益余量及稳定条件

图4显示了被补偿转换器的另一个典型频率回应,重点显示了0dB交越点及相位余量。我们根据经验可知,构成转换器的元件在产生生命周期内会再现性能变化。这些变化可能是因正常的生产差异范围引起的(如电阻或电容遭受逐批次公差不同的影响)。转换器的环境工作条件也对元件有影响。


在这些变数中,温度充当关键角色,影响被动或主动元件参数,如电容或电感等效串列电阻(ESR)、光耦电流传递比(CTR)或是双极电晶体的beta值。这些变数影响回路增益,使其上升或下降,具体则取决于受影响的参数。



图四 : 回路增益会显示出对温度等外部参数的敏感性。出现变化时,相位余量必须始终保持在安全限制范围内。
图四 : 回路增益会显示出对温度等外部参数的敏感性。出现变化时,相位余量必须始终保持在安全限制范围内。

如果增益曲线出现变化,0 dB交越频率将过渡至新的值,为转换器施加不同的频宽。在这些变化条件下转换器的稳定性会受到怎样的影响?如果新的交越频率出现在相位余量较少的点,暂态回应性能可能下降,使过冲不再能被接受。因此,身为设计人员,你的责任就是确保这些差量(dispersion)在你接近-180°极限时不会突然增大增益。


图4描绘了由于所选择元件生产差异范围导致的±10dB典型增益变化。它带来了1.5kHz至30kHz的交越频率。在此区域,相位余量从70°变为45°,这些都是理论上的安全数字。最坏情况是什??就是新的交越频率在总相位滞后180°处出现。这条件在1MHz时出来,表示有35dB的正增益变化。


不太可能有大增益

有利的是,当今电子电路中不太可能出现35 dB的增益变化。以前,在变压器或伺服系统(servomechanism)采用真空管电路驱动的时候,上电序列期间的准备(warm-up)时间可能引起大的回路增益变化。因此,增益规定有必要排斥可能存在稳定性风险的第二个点。


此总相位滞后达-180°的频率处的回路增益曲线上可见这增益余量,在图3中被标记为GM。在当今电子电路中,高于10dB的增益余量通常就足够了,除非您的回路增益对外部参数极为敏感。



图五 : 在此示例中,如果增益漂移至低于25dB,曲线就在相位余量仅为18°的频率点过0dB轴。如此的相位余量将受大的过问影响,提供振荡极大的响应。这就是有条件稳定的案例。
图五 : 在此示例中,如果增益漂移至低于25dB,曲线就在相位余量仅为18°的频率点过0dB轴。如此的相位余量将受大的过问影响,提供振荡极大的响应。这就是有条件稳定的案例。

增益漂移的另一个示例如图5所示。图中显示另一个被补偿的转换器在10kHz时出现80°的相位余量。根据前文的讨论,我们知道可能会出现增益变化,致使增益曲线上扬或下走。在我们的示例中,我们可以发现2kHz附近一个区域的相位余量小到只有18°。


如果出现20至25dB的增益下降,你最后得到的控制系统就会出现相当危险的约2kHz的低相位余量。这就会导致振荡回应,很可能超出过冲规范。此类系统被认为是有条件稳定。有利的是,如前所述,25dB的增益变化并不常见,有这等增益余量的系统可被视为强健。


然而,我看见过在一些设计案例中,最终使用者(您的客户)在规范中清晰标明不接受有条件的设计,要求在低于交越频率的所有点提供大于60°的相位余量。在这种情况下,就强制要求补偿转换器,使得无论什?工作条件下,低于交越频率时都不存在相位余量降低的区域。


稳定,或是不稳定?

通常认为,在交越前相位下降至低于-180°的系统是不稳定的系统。这样的回应如图6所示。在1kHz后相位曲线快速下降,并在1.5kHz之后的数kHz范围内越过-180°的极限。然后相位曲线又上扬,在10kHz时提供50°的相位余量。是的,此系统很稳定,只不过是因为在0dB时我们不满足公式(7)。


要记住的是,要消除公式(3)的分母,您必须使增益大小恰好等于1且相位滞后180°或更多。在图中,我们可以看到任何点都不满足此条件。然而,值得一提的是,此回路极具条件相关性。如果增益减少数dB,您的相位余量将变得低于45°。增益再下降10dB,您将进入相位余量为0的危险区,这时会达到振荡条件。


(本文作者为安森美半导体产品工程总监)



图六 : 相位滞后180°,但处于增益大于的区域。这并不构成问题,其响应可以接受。
图六 : 相位滞后180°,但处于增益大于的区域。这并不构成问题,其响应可以接受。
  • 注:本文经出版商Artech House, Inc., Boston批准,节选自「线性及开关电源控制回路设计教程」(c) 2012一书。此书的主题包括:回路控制基础、传递函数、控制系统的稳定条件、补偿、以运算放大器为基础的补偿、以运算跨导放大器为基础的补偿、以TL431为基础的补偿、以为流稳压器为基础的补偿、量测及设计实例。此书可以至ArtechHouse.com、Amazon.com或BN.com上购买。


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