前言
气压系统在产业自动化中，属于低成本自动化的领域，在各制造业中被广泛应用，如自动进料退料系统、包装机械、塑胶射出机、IC插件机、高速研磨机等，对于省力化、少人化的自动生产系统，扮演着极重要且基本的角色，同时气压系统若搭配适当的机构、感测器及电动机控制即是机电整合(Mechatronics)。气压系统致动器依其运动方式之不同，可分为产生直线运动之气压缸、产生旋摆运动之气压旋摆器与产生回转运动之气压马达。其中气压马达(air motor)与电气马达相较，气压马达有如下特性：
- ●可以无限制的反覆正逆转或停止、启动而不会烧
- 毁。
- ●启动或停止时的切换无火花产生,无爆炸之虞。
- ●转速的选择范围大。
- ●受外界环境如湿气、气温、尘埃等因素的影响少。
- ●超负载时马达停止不会有烧毁之虞。
- ●重量、外型均较同马力之电气马达轻巧。
虽然气压马达有上述之优点，但是由于气体具有可压缩性、高摩擦力、易于泄漏、非线性等问题，所以气压马达的应用多属简单的开路控制，无法像电气马达进行精密伺服控制。早期关于气压系统的研究有Shearer[1][2]，其尝试将气压系统于操作点作线性化建立数学模式并以传统控制理论设计控制器，然而，近年来随着积体电路的快速发展，各种微电脑数位控制器的种类不断的推陈出新，与功能不断的增强；此外各种现代控制方法与理论也不断地提出，诸如模糊控制、类神经网路控制、适应性控制、强健性控制等，使得过去无法与不易进行的气压系统精密伺服控制，如今也有学者尝试以现代控制方法与理论来研究开发[3-10]。
国内关于气动马达伺服控制的研究较少，其中李[9]使用DSP based之模糊控制器进行气动马达转速伺服控制，许[10]采用参考模型适应性控制(model reference adaptive control) 进行气动马达转速伺服控制。上述研究皆从时域的观点，进行气动马达控制系统分析，而本研究从频域的观点，考虑气动马达控制系统具参数变动与外界干扰的系统不确定性情况下，采用强健性控制理论，设计气动马达转速控制器，进行气动马达转速强健性控制。本文第一小节为气压马达特色与研究简介，第二小节分析气动马达动态模式与气动马达系统鉴别，第三小节简介强健性控制理论与规范，第四小节进行数值模拟与实际实验，第五小节结论。
气动马达之动态模式
气动马达动态模式
气压马达依设计形式可分为活塞式(Piston type)、轮叶式(Vane type)、齿轮式(Gear type)与涡轮式(Turbine type)，在工业应用中以轮叶式气动马达为最常被使用，所以本研究采用轮叶式气动马达进行其动态模式分析与转速控制测试。
轮叶式气动马达动态模式[3-5]整理分析如下，在气动马达控制系统中主要由电磁阀与气动马达本体构成，由于电磁阀的电磁响应远快于气动马达气体响应，于此将忽略电磁阀的电磁响应，仅考虑气动马达气体响应。首先考虑气动马达入口处压力变化方程式为（公式一）
其中，Pi为入口处压力，Vi为入口处气室体积，ei与为正值常数，ui为电磁阀输入电压值，fi为一非线性不连续函数，如下方程式（公式二）所示:
其中，Cp为定压比热，Cv为定容比热，Ti为气室温度，Y为k之非线性函数。相同地，气动马达出口处压力变化方程式为（公式三）:
由于气动马达出入口处之压力变化，产生气动马转轴旋转运动，忽略气压泄漏因素，气动马达转动动态模式可以推导如下列方程式（公式四）:
其中，Jl、Jr分别为负载与转子转动惯量，Bl、Bm分别为负载与马达阻尼，dl、dm分别为转子与空气摩擦阻力，Pa为大气压力，由以上的分析得知气动马达转动动态模式为一非线性时变函式。
气动马达系统鉴别
本节中，本研究将以实际实验数据对气动马达进行开路系统鉴别，其目的是将气动马达转动动态模式此一非线性函式以一具乘法式不确定性与干扰之SISO回授控制系统型式表示，如图一所示，以便后续强健性控制分析与设计。
首先本研究使用动态分析仪(Agilent 35670A Dynamic Analyzer)对气动马达于不同操作点，比例阀开度分别为30%、40%、50%与60%(相对应之输入电压为6.5V、7V、 7.5V与8V)，进行sin波扫描(Vp=1V)，气动马达输入压力为3 bar，并将实验数据进行一阶系统曲线揉合，结果如图二所示。
| 《图二 系统不同操作点之频率响应》 - BigPic:794x664 |
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接下来，对气动马达于不同操作点，比例阀开度分别为20%、40%、60%、80%与100%(相对应之输入电压为6V、7V、8V、9V与10V)，进行步阶响应测试，正规化结果如图三所示。
由以上数据分析得到气动马达动态，系统增益为非线性变化，截角频率约为1rad/sec，上述气动马达动态可以以一具系统参数变化之模式表示，如下转移函式所示（公式五） 。
本研究选择比例阀开度60%(8V)之气动马达动态为常态系统(nominal plant) ，其转移函式为（公式六）
并设定系统于低频有50%的扰动，高频有200%的扰动，系统不确定上边界为（公式七）
所以最大扰动系统为（公式八）
图四显示G(s)、~G(s)与系统关系，由图中可以看出最大扰动系统~G(s)已涵盖所有马达转动动态。
| 《图四 G(s)、~G(s)与系统之时域响应》 - BigPic:559x439 |
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强健性控制器设计
本文的主要目地是设计一H 控制器满足一具有乘法式不确定性气压马达控制系统的强健性能规范，本节将简单说明强健性控制原理与规范。
系统不确定性(Model uncertainty)
考虑一具乘法式不确定性与干扰之SISO回授控制系统如图二所示。其中，常态系统(nominal plant)转移函数为G(s)，扰动系统(perturbed plant)转移函数可表示为下列方程式（公式九）
| 《公式九 扰动系统(perturbed plant)转移函数》 |
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W2(s)为一稳定权衡函数，其用来描述系统不确定性的频率范围，所以|W2(s)|可以提供设计者明了系统不确定的轮廓，Δ(s)为系统不确定函数且∥△(s)∥∞≦1． ∥△(s)∥∞的H的范数为Δ(s)的波德图的最大值，定义（公式十）为
强健稳定性(Robust stability)
根据最小增益定理[11]，得知一具乘法式不确定性的系统要渐进稳定其充分必要条件为（公式十一）
其中，T(s)为补灵敏性函数，定义为（公式十二）
常态性能(Nominal performance )
强健控制系统除了必需满足强健稳定性规范外尚必须考量其追迹性能，即必须满足下列常态性能条件（公式十三）
其中，W1(s) 为一稳定权衡函数，为控制系统之频率性能规格，S(s)为灵敏性函数，定义为（公式十四）
强健性能(Robust performance)
由以上分析得知，若一控制系统同时满足强健稳定性Eq.(11)与常态性能Eq.(13) ，则称该系统具有强健性能，经推导可得强健性能的条件为（公式十五）[12]
模拟与实验结果
气动马达控制系统架构
本研究之气压马达转速控制系统，主要是由气压源、空气调理组、5口3位比例阀(FESTO MPYE-5-1/8)、快速排气阀(FESTO)、轮叶式气压马达( TONSON V1-L)、旋转光学编码器、伺服驱动器(内建HT46R24 MCU与转速转换电路)、个人电脑及相关运动控制卡(ADLINK 9112 )所构成。其系统架构图，如图五所示。
「气压马达控制系统」工作原理详述如下：个人电脑为系统控制器与人机界面，使用者输入预设定之气压马达转速值，个人电脑计算相对应之控制量，再经由运动控制卡DAC转换成0~5V类比电压讯号送至伺服驱动器，经伺服驱动器内运算放大电路送出0~10V电压至比例阀，比例阀依输入电压大小控制高压空气进入气压马达之流量与方向，使气压马达按照期望之转速与方向运转，最后经由光学编码器的量测送出方波讯号至伺服驱动器经由HT46R24 MCU计时/计数器计算出气压马达转速并转换为类比电压讯号传输至Pc，Pc根据此回授转速值与内建控制法则(control law) ，调整输出类比电压讯号进而达到气压马达转速闭回路控制。其中位于气动马达出入口之2只快速排气阀，其功能是使气动马达排气不再经由5/3气压比例阀排气，而是经由快速排气阀较大口径排气口排气，由于气动马达排气是经由最短路径排放，阻力最小，气动马达背压减小，因此气动马达转速大幅增加。气动马达转速闭回路控制方块图，如图六所示。
模拟
为了测试与验证本文所提出之强健控制器之可行性与性能，本研究进行下列模拟，分析气动马达转速闭回路控制系统之强健稳定性与强健性能。
考虑气动马达转速闭回路控制系统为一具乘法式不确定性与干扰之SISO回授控制系统如图一所示，
选定常态系统转移函数为（公式十六）
系统性能要求为低频(低于6 rads/sec)稳态误差小于5%，设定系统性能边界为（公式十七）
设定系统于低频有50%的扰动，高频有200%的扰动，系统不确定上边界为（公式十八）
根据Hinf控制理论，使用Matlab软体演算可获得满足强健性能条件Eq.(15)之控制器（公式十九）
| 《公式十九 满足强健性能条件Eq.(15)之控制器》 |
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并使用此控制器进行数值模拟，测试控制器强健性。图七显示灵敏性函数、补灵敏性函数、常态性能与强健稳定性的波德图，由图七显示控制系统确实满足常态性能Eq.(13)与强健稳定性Eq.(11)的规范。
| 《图七 灵敏性函数、补灵敏性函数、常态性能与强健稳定性的波德图》 - BigPic:560x420 |
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进一步检查系统是否满足强健性能Eq.(15)图八显示常态性能、强健稳定性与强健性能边界均低于1(0dB)，说明系统确实符合强健性能要求。
| 《图八 常态性能、强健稳定性与强健性能边界》 - BigPic:559x439 |
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此外本研究也检视控制系统时域响应，图九显示常态系统与最大扰动系统之单位步阶响应，结果显示系统稳态误差均小于2%，安定时间约为0.3秒，显示系统有良好时域性能。
| 《图九 常态系统与最大扰动系统之单位步阶响应》 - BigPic:560x420 |
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实验结果
最后本研究将所设计的强健控制器安装于气压马达转速控制系统上进行实际测试。
测试一:步阶响应测试，输入讯号1V(1200rpm)，测试结果如图十所示，稳态误差与模拟结果十分吻合满足常态性能条件W1(s)，暂态性能结果与模拟结果有稍许差异，其一实际系统大约有0.015秒时间延迟，此一时间延迟于建模时并未考虑进去，其二实际系统上升时间略快于模型，此一差异应属于建模误差所致，但整体步阶响应是满足强健性能要求。
测试二:输出线性测试，分别于不同操作点，输入讯号1V(1200rpm)、2V(2400rpm) 与3V(3600rpm)，测试结果分别约为1175 rpm、2325 rpm与3475 rpm，呈线性输出关系并且稳态误差均小于5%允许范围内，如图十一所示， 相较于图三系统未受控制前开路非线性输出，本文所提出之强健性控制器确实可以有效控制一非线性系统并满足性能要求。
| 《图十 仿真与实测之步阶响应》 - BigPic:560x420 |
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| 《图十一 不同操作点之步阶响应》 - BigPic:560x420 |
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测试三:系统干扰测试，系统压力维持于3 bar，输入讯号1.5V(1800rpm)，待系统到达稳定时，以手动瞬间调整稳压阀，调降系统压力为2.5 bar，系统转速变化如图十二所示，气动马达转速由1750 rpm 略降为1700 rpm 随即回升为1720 rpm，气动马达转速并未因系统压力大幅下降(16%)造成系统不稳定或性能变差，显示本控制器受干扰时的强健性与优越性。
| 《图十二 受干扰系统之转速响应》 - BigPic:612x439 |
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结论
本文从频域的观点，考虑气动马达控制系统具参数变动与外界干扰的系统不确定性情况下，采用强健性控制理论，设计气动马达转速控制器，进行气动马达转速强健性控制，从实验的结果与过程中，可得下列结论：
(1)本文所使用的控制方法，在控制精度上，皆可以控制在5%之内，在暂态反应上，大约0.3秒即达安定时间，故具很高控制性能；在系统参数变动干扰上，亦有很高之强健性。
(2)本文在气压马达转速系统上，使用快速排气阀，增加气压马达转速，改善气压马达动态性能；此外使用数位压力表来监控与调整压力，避免实验的误差，增加实验的可信度。
(3)使用高性能低价的微控制器构成感测与驱动电路，检修容易具成本优势，符合工业需求。
综合以上所述，证明本文所提之控制方法与硬体之可行性与优越性。
---作者林柳絮为德霖技术学院机械工程学系讲师、林宪阳为机械工程学系副教授、王宣胜为机械工程学系副教授兼机械工厂厂长；本文作者感谢盛群半导体提供部份经费与设备，张治副总经理与任锦灿、王国会两位经理的协助与指导，本研究得以顺利完成---
参考文献
[[]J. J. Shearer, Continuous Control of Motion with Compressed Air, Scd, Thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1954.
[2]J. J. Shearer, The Study of Pneumatic Process in the Continuous Control of Motion with Compressed Air-I”, ASME Trans., pp.233-242, 1965.
[3]S. R. Pandian and M. Hanmandlu, Modeling and Control of a Pneumatic Rotary Actuator, Proceeding of Int. Workshop on Power Transmission and Motion Control, PTMC’98, Bath, pp. 363-377, 1998.
[4]S. R. Pandian and F. Takemura, Control Performance of an Air Motor, Proceeding of the IEEE Int. Conference on Robtics and Automation, Michigan, pp. 518-524, May 1999.
[5]F. Takemura, S. R. Pandian and Y. Nagase, Control of a Hybrid Pneumatic /Electric Motor, Proceeding of the IEEE/RSJ Int. Conference on Intelligent Robots and System, pp. 209-214, 2000.
[6]J. Wang, J. Pu, C. B. Wong and P. R. Moore, Robust Servo Motion Control of Air Motor Systems, Proceeding of UKACC Int. Conference on Control, pp.90-95, 1996.
[7]R. Marumo, M. O. Tokhi, Neural-Model Reference Control of an air Motor, IEEE AFRICON, pp.467-472, 2004.
[8]R. Marumo, M. O. Tokhi, Intelligent Modeling andcontrol of a Pneumatic Motor, IEEE CCECE, pp.1163-1166, 2004.
[9]李仁森，气动马达定速控制，硕士论文，中央大学机械系，2005。
[10]许云峰，气动马达的适应性控制，硕士论文，台湾大学机械系，2006。
[11]J. C. Doyle, B. A. Francis, and A. R. Tannenbaum, Feedback Control Theory, Macmillan Publishing Company, New York, 1992.
[12]Kemin. Zho, Essential of Robust Control, Prentice Hall Publishing Company, New York, 1998.
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