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| 随机杂讯对时脉抖动影响的理论与实验 |
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【作者： Ken Yang,Steve Lee】2005年09月05日 星期一
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时脉抖动（Timing Jitter）与杂讯可以说是工程应用上最不被了解的概念之一，但却也是数位与类比设计中最关键参数的一环，特别是在高速通讯系统中，不良的抖动情况会造成较高的位元错误率并限制系统的传输速度。时脉抖动通常定义为数位信号短时间内偏离期理想位置的大幅变化，造成随机时脉抖动的原因有几个，包括宽频杂讯、相位杂讯、寄生脉冲（spurs）、电压变化率（slew rate）以及频宽等，其中相位与宽频杂讯为随机，而寄生脉冲则是由各种可确认干扰信号，如相互干扰（crosstalk）与电源耦合所造成的固定响应，而在以下的文章中可以看出，电压变化率与频宽同时也会对时脉抖动带来影响。(图一)描述了包含三个杂讯源的非理想正弦波波形，(图二)则是一个随着时间累积抖动信号的数位信号波形。
这篇文章的目的主要是解释并展示时脉抖动与这三个杂讯源的直接关联性。
宽频杂讯对时脉抖动的影响
正弦波中时脉抖动
所有的电子元件，特别是放大器与逻辑元件都会产生宽频杂讯，又称为杂讯基准（noise floor），宽频杂讯是散粒杂讯（shot noise）与热杂讯（thermal noise）的组合，常见于二极体与电晶体上，散粒杂讯是由半导体内接面上电荷随机跳越电位屏障引起，另一方面，热杂讯则不会受电流流动影响，而是主要由载子的随机热移动所造成，例如在MOSFET的闸极与通道阻抗，热杂讯功率大小与阻抗及温度成正比。
宽频杂讯对时脉抖动的影响在目前元件的运作频宽已经进入数GHz的趋势下已经变得相当重要，举例来说，具备40GHz频宽、10dB杂讯指数（noise figure）、20dB小信号增益与0dBm输出功率的宽频放大驱动电路会产生-38dBm的杂讯输出（-174dBm + 10dB + 20dB + 10log10（40GHz ）），因此讯噪比（Signal-to-Noise Ratio；SNR）为38dB，在这样的SNR等级下，宽频杂讯在时脉抖动的影响上就占了相当大的部分，整体均方根（ Root-Mean_Square；RMS）杂讯电压为整体频宽内杂讯基准的累积，(图三)显示RMS杂讯如何转换成时脉抖动。
| 《图二 这个频率信号中的随机噪声与寄生脉冲会造成时基抖动，并随时间累积》 |
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以数学上来说，可以用以下的方程式来表示内含宽频白色杂讯的正弦波：
其中A为振幅，为角频率，则为时间t时的杂讯电压。随机杂讯拥有高斯（正规）分布特性，这个杂讯电压的概率分布函数为：
其中为RMS杂讯电压。要了解杂讯电压如何转换成时脉抖动，将送到时脉抖动测量仪器，例如拥有直方图（histogram）功能的取样示波器的输入端，每一次与通过0V临界电压时，直方图上就增加一个资料点。如图三中，在时间时，杂讯信号可能会达到临界点，因此会在取样点的前或后时间让时脉抖动加入到直方图上。可以将方程式二设为来计算时脉抖动的概率密度函数，得到直方图中的时脉抖动分布函数。
方程式三可以透过假设与正弦波周期时间比较时较小，因此来加以简化：
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因此方程式三就变成方程式四：
将方程式四中各分子与分母除上，可以得到：
方程式五是一个与方程式二中高斯（Gaussian）分布类似的时基抖动分布函数，只有的倍率差别，因此RMS时基抖动就成为：
| 《图四 时基抖动测试安排#1：将噪声加到纯净正弦波上》 |
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(图四)中的测试安排主要用来验证方程式六，使用纯净的正弦波加上宽频杂讯组合后送到测量零交越电压的取样示波器，为了确保得到有效的结果，输入宽频杂讯必须要比示波器的杂讯基准还高，(图五)与(图六)分别显示实验的结果，图五显示了抖动信号作为固定RMF杂讯输入频率的函数，图六则显示具备固定频率的RMF杂讯电压函数，经由测量以及计算所得抖动曲线间的相似性证明了方程式六可以用来将宽频杂讯转换成为时基抖动信号。
常见波形中的时基抖动
经过简单的修改，方程式六同时也可以应用在其他波形的时基抖动转换上，在定义上，方程式六中的为0V临界点的电压变化率S，任何已知临界点电压变化率的波形都可以用来将转换为，原因是，如图三所示，代入方程式二后可以得到方程式七：
将方程式七中的分子与分母除以S可以得到：
方程式八与方程式二中的高斯分布类似，只有1/S倍率差别，因此RMS时脉抖动信号就成为：
图四中的测试安排同样地可以用来验证方程式九，只是将正弦波以可调电压变化率的方波取代，时脉抖动则在方波上升缘的50％处测量，(图七)中的结果验证了方程式九的计算结果。
图七中的资讯带来了一个值得注意的现象，那就是具有较快电压变化率的波形时脉抖动较小，但要得到较快的电压变化率则需要较大的工作频宽，造成系统RMS杂讯的提升，原因是RMS杂讯与频宽成正比，在了解了这个关系以后，系统设计工程师必须谨慎地选择电压变化率与频宽以便将时基抖动降到最低。
相位杂讯对时基抖动的影响
相位杂讯出现在所有的主动与阻抗式元件上，在振荡器上特别严重，这些振荡器包含自由运转的石英振荡器与时脉回复应用上的锁相振荡器，相位杂讯是一个表示频谱纯净度的规格，例如，振荡器的输出在频域中理想上是一个以垂直线出现的单一频率纯净正弦波，但是在现实上，振荡器中却有几个杂讯源会造成输出频率偏离原本理想的位置，因此产生接近接近载波，也就是基本频率的裙带（skirt）频率，如(图八)所示，通常称为相位杂讯，这些频率因杂讯源对振荡器进行调变所产生，通常出现在高于杂讯基准并接近载波频率处，相位杂讯通常定义为1Hz单位处载波偏移频率的杂讯功率与载波功率的比值，由于杂讯源频率会对信号进行调变而产生相位杂讯，因此相位杂讯不受电压变化率的影响。
| 《图八 输出频谱上的群带(skirt)频率由噪声频率对振荡器进行调变而产生》 |
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由于大部分时脉抖动量测设备的限制，通常在频域中测量相位杂讯要比在时域中测量时脉抖动更容易决定低杂讯信号的纯净度，例如大部分的时脉抖动量测示波器只能测量到最低1ps的RMS信号，而大部分常见的即时示波器则只有7GHz的最高频宽，但在另一方面，相位杂讯设备则可以测量最佳低杂讯振荡器的杂讯等级，要比时域中的1ps低得多，同时可以提供高达40GHz的频宽。
相位杂讯与时脉抖动间的转换在之前已经被讨论过[1-2]，要得出相位杂讯与时脉抖动间的相关方程式，先考虑方程式十为包含相位杂讯的正弦波：
其中A为振幅，fo为额定频率（nominal frequency），为相位杂讯。时脉抖动通常是在两个或更多个周期范围的0V交越点测量，在0V交越时，方程式十中括号内的数值为2N：
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其中t1为第一个零交越点，t2为第N个零交越点，代入这两个方程式可以得到：
两个零交越点间的时间为周期数加上时脉抖动：
其中To T为周期或1/fO，为N个周期后所累积的时基抖动，将方程式十四代入方程式十三可以得出：
重新整理方程式十五并去掉2N可以得到方程式十六的时脉抖动：
因此平方RMS时脉抖动为：
由于是一个固定程序，因此
其中为的频谱密度，f则为偏移(傅立叶)频率，因此方程式十七中的中间部分就成为：
其中为的自相关函数，而则等于N个周期后时间，N个周期后时间的平方RMS时基抖动为：
利用代数等式并假设相位杂讯接近载波而且对称，也就是说由-fOFFSET 到0的累积值会等于0到+fOFFSET，那么方程式二十可以写成：
大约等于近接(close-in)相位杂讯[3]的相位杂讯,也就是说傅立叶偏移频率要比载波频率低上许多:
| 《图九 测试安排#2：利用相位调变产生相位噪声与时基抖动》 |
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在(图九)中的测试安排应用了相位调变电路[4]以便验证方程式二十二，相位调变电路提供一个产生无寄生杂讯的可变相位杂讯源的方法，电路的输出首先透过取样示波器测量时脉抖动，接着再用频谱分析仪（没有显示在图中）来测量相位杂讯，(图十)为这个电路的相位杂讯表现，与锁相振荡器的杂讯类似，相位杂讯在回路频宽内固定，在频宽外则衰减，使用数值积分来对方程式二十二进行积分，可以得到(图十一)中的特定周期时脉抖动累积结果，图十一中的曲线让方程式二十二得到了验证。
寄生杂讯对时脉抖动的影响
寄生杂讯（Spurious Noise）也会对时脉抖动造成影响，特别是在振荡器内，寄生杂讯可以由锁相回路参考寄生杂讯、电源耦合、与邻近电路的交互干扰以及信号源产生，如图一中所示，这些寄生杂讯通常以接近载波频率的小突波表现，方程式二十二可以用来找出寄生杂讯与时脉抖动的相关性，由于寄生杂讯只会在特定频率发生，因此方程式二十二中的积分函数可以以加法代替：
同样地，为N个周期后的时间，由于方程式二十三中并未假设寄生杂讯为对称，因此将它乘以4而不乘以8，载波两端的寄生杂讯必须包含在时脉抖动的计算中，L(fn)为相对于载波，也就是目标信号的寄生杂讯振幅大小，通常以dBc为单位，fn则是第N个寄生杂讯的偏移频率，(图十二)中显示了在载波频率两端100kHz偏移处振幅为-40dBc寄生杂讯的方程式二十三绘图结果，透过将电压控制石英震荡以一个正弦波调变来在载波任一端产生顺便杂讯验证方程式二十三。
整体抖动
如前所述，宽频杂讯、相位杂讯与寄生杂讯为时脉抖动的主要来源，宽频杂讯完全随机同时无相关性，因此产生的时脉抖动无法累积，但后两者通常会产生累积时脉抖动，因此平方整体时脉抖动为三个平方时脉抖动的总和。
| 《图十二 在载波频率两端100kHz偏移处振幅为-40dBc寄生噪声的结果》 |
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结语
实验与计算结果间的相关性显示了三个主要杂讯源与时脉抖动两者间的关系，高速系统的设计工程师可以使用方程式九、二十二与二十三来将杂讯转换成时脉抖动。 （作者任职于Maxim Integrated Product）
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