光子晶体是一由具有高低不同介电系数的介电材料或是金属材料所组成的周期结构，其结构的周期性，可为一维、二维或是三维，如(图一)所示。当其不同的介电系数相差够大，且其周期或称晶格常数（lattice constant）与所考虑光子的波长之量值相当时，所造成的强散射效应（strong scattering effect），便可能形成一光带隙（photonic bandgap）。所谓光带隙，为一模密度（density of mode）为零之波长或频率的范围。故当一光子的波长或频率位于此光带隙中，此光子便无法在此一光子晶体内传播。如此一来，光子在此一光子晶体中的运动，就如同电子在一具禁带隙（forbidden bandgap）之半导体中的运动一般，当光子的能量与传播方向处于光带隙中，其传播便会受到限制。此一具有光带隙的光子晶体，称为光子带隙晶体（photonic bandgap crystal；PBG）。

光子带隙晶体中的光带隙，有限制某频率范围的光在某些方向传播的特性。如果当一光带隙在某频率范围内，对任一空间方向皆能限制其光子的传播，则此种光子晶体便具有全光带隙（complete photonic bandgap）。最初，Eli. Yablonovitch于1987所提出的光子晶体之概念，就是源于此全光带隙的特性，来限制光的幅射和完全抑制一个光源在此种光子晶体中的自发射（spontaneous emission） 1,2。此外光子晶体除了有可限制光传播的特性外，另一个与半导体类似的特性，就是可加入缺陷（defect）或是impurity于晶格中，而在光带隙中产生局部模（local mode），例如增加或移走一些晶体子以破坏晶体的周期性，使得原本位于光带隙中的光子可借其局部模而传播。这机制就如同半导体的doping一般，可在禁带隙中产生能阶。

《图一 光子晶体为一在空间中具周期变化之几何结构，其周期性可为(a)一维；(b)二维；(c)三维。》

本篇文章将就光子晶体的理论基础及应用，作一简单地介绍。

Maxwell's Equations in dielectric microstructure

光波与电子波其行为之类似性，可由规范其性质之基本Maxwells及Schrodinger equations来了解。光子或电磁波的产生与传播，是由Maxwells' equations来描述与规范。考虑一频率为ω的单色电磁波在一个介电系数ε不为常数的介电质中传播，其中ε为一随空间变化的函数，可表示如下：

《公式一》

其中为平均的介电系数而代表部分随空间位置变化的介电值。由Maxwell's equations,描述电场的微分方程为:

《公式二》

而对一个电子在一位能中运动，其波动方程可由薛丁格方程（Schrodinger equation）来描述：

《公式三》

现在对公式二与公式三做一比对。公式二中前两项如同公式三中的动能（kinetic energy）项，如同公式三中的位能项，而则是对应于公式三中的能量本征值（energy eigenvalue）E。不过有所不同的是Maxwell波公式二中描述的是一向量场，而薛丁格公式三中所描述的是一纯量场。

此外，从公式三可得知，当电子处于一定深度的位能中，其能量本征值为负，而形成束缚态（bound states），可是对公式二而言，由于有公式一的限制，故光子的束缚态（localization of photon）不易形成，必须透过控制的分布而且通常要够大才能达成，其原因可从散射等效位能势看出。

所以从量子力学的观点来看，光子在一介电系数随空间变化的dielectric microstructure内运动时，将如同受到一随空间变化的位能的影响，而位能变化的大小与分布，将有形成光子束缚态的可能。下面将讨论当此位能的变化为一周期函数时，光子在如此microstructure内的行为，并引出光子晶体的概念。

光子晶体概念来源与Yablonovite

在研究散射问题时，当知道当一光子进入一周期结构或晶体时，如果其波长满足布拉格条件（Bragg condition），则其入射面，就如同一完美镜面（perfect mirror）可完全反射入射波，此为布拉格反射。对于晶体内不同的布拉格面（Bragg plane），则会有不同的(来满足布拉格条件，所以会全反射不同方向的入射波，如(图二)与(图三)所示。利用X ray打在一晶体上所形成的布拉格反射的结果，可用来研究晶体的几何结构。然而对于较长波长，如可见光的电磁波，其布拉格的散射效应便无法由晶体内的原子群来达成，必须藉由较大维度的周期结构，而其周期约与入射光的波长同一量级（ ~micron）来散射入射光。更进一步，如果这种micron级的周期结构，或称photonic microstructure，其散射效应大到使不同的布拉格面相重叠，使得入射光不论从任一角度，都无法穿透此microstructure，有如一光子绝缘体（ photonic insulator）般，如(图四)所示，这便是光子晶体概念的来源。此想法是由Eli. Yablonovitch 1987所提出，且预测如此的周期结构，有存在如同半导体中禁带隙（forbidden bandgap）的特性，使得在某一频率范围内，光子会被完全散射出来，无法进入microstructure中。

《图二 当入射光其波长满足Bragg condition时，不同的晶格面便会以不同的Bragg angle来全反射入射光》

《图三 每一个Bragg plane会全反射一些小范围的入射角，但这些范围的入射角鲜少重迭》

《图四 光子晶体的布拉格散射。每一个Bragg plane会全反射一大范围的入射角，使得这些范围的入射角相互重迭，如同一光子绝缘体般》 在某一范围的波长或频率内，光子不论以何种入射角入射，都将被如此的光子晶体完全散射出来，无法进入晶体中。

第一个制作成功的全光带隙的光子晶体，是由Eli.Y ablonovitch在1991年于贝尔通讯研究所（Bell Communications Research）所产出。故因之称为“Yablonovite”。透过一连串尝试不同的介电材料和晶格常数，制作出的Yablonovite具有介于微波频段的光带隙。 Yablonovite的结构是由三组不同方向的钻洞，形成FCC的晶格所组成，其几何结构如(图五)所示。当基底材料的折射系数n为3.6且体积分率（volume fraction）约为22％时， Yablonovite在14～16GHz具有一全带隙3。

《图五 (a)Yablonovite是由三组不同方向的钻洞所组成。每组洞和平面垂直方向成35o，并在方向各自差120o；(b)Yablonovite的三维结构图》

光子晶体的制作

由于光子晶体是一种波长量级的周期结构，最简易的选择是利用两种介电系数相很大的材料来组成。如果考虑微波频段，则其晶格常数的量级为mm到cm的范围，其光子晶体可利用一般制程来完成（如机械钻洞）。但若是考虑在可见光或是近红外线的频段，则其制程的量级为次微米级。如何发展光子晶体的奈米级制程（nanofabrication）来精确地制作出如此微结构的晶体，在这几年来已成为一个重要研究的方向与挑战。目前有两种主要的方法来制作奈米级的光子晶体，一是利用胶态粒子自组成（self-assembly of colloidal particles）的方法；另一个则是利用蚀刻石印（lithography combined with etching）的方法。

自主组法是利用湿化学合成（wet chemical synthesis）的途径，使胶态粒子如SiO2或是ZnS，来自我组成不同的晶格，而来制作光子晶体。其中粒子的直径可从小于100奈米到数个微米，故可用于可见光和近红外线的频段。

虽然自组成的方式，可制作极细微的结构，然而在长晶的过程中，不易控制晶格的一致性，而容易产生很多晶格缺陷，进而破坏其光带隙结构。此外，由于胶态粒子的介电系数不高，所以也不易形成一全光带隙。目前有一种解决介电系数太低的方法，即是在晶体中加入一些高介电系数的材料，如TiO2或是Si，然后再把原来晶体的粒子移除，而形成具有高介电系数差的反结构（inverse structure）。

另一个制作光子晶体的方法，是利用一个制成的石印罩（lithographic mask）置于一基板之上，再利用蚀刻的技术来制作光子晶体。而面罩上的洞孔，通常由电子束石印术（electron-beam lithography）所制成，故可极精确地控制洞孔的排列与大小。此技术特别可用在制作二维层状的光子晶体上，且其孔径可达100奈米。此外，由于此方法中使用蚀刻技术，所以可在光子晶体内加入缺陷，并可控制其形状与位置，进而增大光子晶体的应用面，这是自组成的方法所无法达成的。

光子晶体的应用

由于光子晶体带隙结构的特性和几何结构极具多样性，使得人们利用光子晶体来操控光子的能力将远大于半导体操控电子的能力。且有鉴于半导体产业对人们生活的巨大影响，未来光子晶体的应用将会影响到各产业，尤其是光通讯产业。以下将介绍光子晶体未来的一些应用。

Photonic-crystal fib热水（PCFs）

传统的光纤是利用光在高介电系数的core内全反射的原理在其内传播，为了避免在长距离传播下的色散效应，所以通常core的面积必须小于80μm2，然而如此一来也限制了传送的资料量。

利用二维的光子晶体制成的光纤photonic-crystal fibre（PCF）可解决此一问题。 PCF是由一玻璃的core外围包覆一多孔层，如(图六)所示。此结构就如同一中心有缺陷的二维光子晶体，在光带隙中会产生一缺隙模，即使core的面积很大（~300μm2），PCF仍可以传送单一模，如此便可大大提升资料的传送量。另外，利用光带隙的特性，也可设计一中空的PCF，如(图七)所示。由于core为空气（低介电系数），所以光在长距离传送时仍具有极低损耗的优点。

《图六 Photonic-crystal fibre》

《图七 中空的Holey photonic-crystal fibre》

Photonic-Crystal Microcavities

在1946年，E.M. Purcell预测当放射材料（active materials）置于一大小为波长量级的microcavity中，其自发射（spontaneons emission）的效率将会改变。如(图八)所示，为一photonic-crystal microcavity，其中在中心有一缺陷或可视为一microcavity。如此设计的microcarity在光带隙中产生一缺陷模。当放射材料所发出光的波长符合缺陷模时，光会放射出来，其它波长的光则会被抑制，所以，以光子晶体形成的microcavity会发出一极窄频宽的光且其自发射的效率将会被提高。(图九)为一photonic-crystal microlaser结构示意图，其microcavity的大小为30μm2。

《图八 Photonic-crystal microcavity》

《图九 Photonic-crystal microlaser》

此外，photonic-crystal microcavity窄频的特性也可应用在光滤波器（filter）上，以便选择一特定波长的光。因此整合不同波长的光滤波器可应用在dense-wavelength division multiplexing（DWDM）的通讯系统上。

高效率的LED

传统上，LED的内部量子效率（internal quantum efficieney）很高，通常可达到99.7％，但却因发光材料的高介电系数所造成的全反射，使得LED外部效率（external efficieney）很低，大约在2～4％。

如(图十)所示，为一利用光子晶体所设计的LED。中央为发光区，外围为一二维的光子晶体。可以调整光子晶体的几何结构，使其光带结构中的漏模带（leaky mode bands）和发光材料的发光带重叠。如此一来被限制在材料内的光便会耦合（couple）到漏模，因而能大大提高LED的外部效率。

《图十 Photonic-crystal LED，(a)俯视图，(b)侧视图》

积体光回路（Integrated Photonic Circuits）

长久以来，人们一直希望能够如积体电路一样制作出积体光回路。然而由于光纤在小范围内大角度转角上光的传输会有漏出的限制，使得整合性的光元件体积无法进一步地缩小。而光子晶体的出现，将可解决此一限制。如图十一(a)所示，在一二维的光子晶体内，形成一线型缺陷（line defect）。由于光子晶体的带隙结构，所以即使其转角为90度，也可使得光波被局限在线性缺陷内传播。

此外透过光子晶体内不同缺陷的设计，可制作极小splitter，或是一波导内共振腔（resonator cavity），如图十一(b)与(c)所示。如此一来，利用光子晶体特性的各种功能性的光元件，将可被整合在一小晶片内。

《图十一 (a) sharp-bend waveguide (b) splitter (c) resonator》

未来的展望

自1991年起，第一个三维全光带隙光子晶体Yablonovite问世以来，科学家已成功制作出奈米量级的光子晶体，并且设计出许多功能性的光子晶体。透过自组成的方式或是半导体制程技术的开发，使得多样化的微结构得以实现。也由于理论分析的工具日趋成熟，使得科学家得以预测光子在光子晶体内的行为，并可辅助设计一些新奇的功能性光元件，以期进一步把这些元件整合成一光微晶片，来进行复杂的光“运算”。

在未来几年内，预期高效率的photonic-crystal laser和 LED将会率先问世。而后，如微米级的photonic-crystal波导和高解析度的spectral filtering产品也将逐一问世。许多科学家甚至预测，在未来年25年内，将会出现第一个原型的光子电脑。

目前研究光子晶体的阶段，就如电晶体问世前的阶段一样。如果目前的研究发展一直持续发展，光子晶体​​将如同半导体产业革命一般，在光资讯产业带来一场前所未有的大革命。 （作者任职于联旭科技）