现代的数位互补金属氧化物半导体（CMOS）制造技术是一种多产的元件结构，可以提供高达兆赫的交换速度。这么高速的运算速度，使数位信号处理技术借此得以被应用在以往只能透过「纯类比」领域处理的应用电路上。从前只能用在纯类比应用上的正交调变，如今也可以在数位领域找出实作方法。

基本调变

在直接探讨数位正交调变之前，回顾一些基本的一般调变观念是很有帮助的。调变的观念并非只有现代才有，从早期人手一部的收音机便已经运用这个观念。调变的观念，特别是指应用在射频（RF）电路上时，是混合两个正弦波的信号。其中一个信号是讯息信号，包含被调变的资讯，通常由限制频带频谱的正弦波来组成（如音乐）。另一个信号用来​​做载波，通常是一个纯音调（单频正弦波），这个载波的频率称做载波频率，记做符号fc（或代表角频率），并用于下文中，通常fc的频率会比讯息信号成份中的最高频率还要高得多。

调变的观念来自三角恒等式：

公式:cos(x)cos(y)＝1/2[cos(x+y)+cos(x-y)]

若假定讯息信号是纯音调频率─fm，则讯息可以用数学式来表示为cos(2fmt)，相同的假定也可以用在载波信号，所以可以将载波信号表示为cos(2fct)。将讯息信号假定为「纯音调」在数学处理时会简单得多，但要切记，讯息信号极少是纯音调，通常是由随时间变化的振幅、频率、相位或这几种组合相互结合而成，甚至载波也不需要是纯正弦波，也存在载波是方波且基频为fc，而在滤出调变信号时，方波fc内含的谐波便可做处理。

较早被提出的混合处理方法是利用乘法来运算，因此上述的三角恒等式可以将混合处理表示成下式：

公式:cos(2fct)cos[2 fmt]=1/2 cos[2(fc+fm)t]+1/2cos[2(fc-fm)t]

因此，信号与载波的混合造成讯息频率的改变，讯息的频率由原本的转换成两个新频率，一个比载波大(fc+fm)，一个比载波小(fc-fm)，分别是高、低旁频带。除此之外，由于有1/2的因子出现在等式右边，这表示被传送信号需承受6dB的损失（减少50％）。

刚才描述的调变形式称为双旁频带调变，因为传送讯息用的频率范围是在载波频率以上及以下两边。另一种调变形式称为单旁频带调变，可用来消去上旁频带或下旁频带。有一种可以用来取单旁频带的方法，就是使用正交调变器。正交调变器用两个载波来混合讯息，两个载波工作在相同的频率，但互相偏移相位90度（因此称为「正交」）。简而言之，两个载波可用cos(2fct)及sin(2fct)来表示。同样的将讯息也改造成包含两个分离的信号：一个是原来的，一个较原信号相位偏移90度。原信号与载波的余弦成份混合，相位偏移90度的信号与载波的正弦成份混合。这两种调变实现了单旁频带功能，利用三角函数可表示成：

公式:[cos(x)cos(y)]+[sin(x)sin(y)]＝[1/2cos(x+y)+1/2cos(xy)]+[1/2cos(xy)- 1/2cos(x+y)]

注意等式右边可化简成cos(x-y)，也就是说，只剩下低旁频带。在上面的等式中，x是载波而y是讯息。附带一提，改变一下等式左边的运算符号，可以让等式右边只出现高旁频带。 (图一)的单旁频带及双旁频带调变器的函数表示式是与相关的频谱一起列出，但是，讯息是以限制频带的频谱，而不是纯音调表示出来，这样的表示法较接近实际应用的情况。讯息的任一个组成频率都被转换到一边或两边的载波上，如图一所示。

《图一 (a)双旁频带(b)单旁频带调变器函数表示式与相关频谱》

数位数值表示法

为了增加对基本调变的了解，对于在数位世界中数位数值表示法的使用有起码的了解，也是有帮助的。数字的基本构成方块为位元，它只有二个值──0或1。位元可以连结起来以表示较大的数字，就像是十进位数字那样。举例而言，十进制系统的一个位数能够表示出0至9的值，但使用三个位数的数字148则用来表示以下的和：8(100)+4(101)+1(102) ＝8+40+100＝148。由最右位数开始，每一位数带有以十为底的递增升幂排列（十、百、千等）。类似的做法，二进制数字由最右位数开始，每一位数带有以二为底的递增升幂排列，例如10010100＝0(20)+0(21)+1(22)+0(23 )+1(24)+0(25)+0(26)+1(27)=0+0+4+0+16+0+0+128＝148，二进制表示法的好处并不是那么容易看得出来。

举例来说，二进制在运算时变得非常累赘，试考虑100万这个数，用十进制数字只要7个位数就可以表示出来，二进制数字表示却要用到20位数，这样的标示法看起来不太有效率。但是真正的关键在于事实上每一个二进制数字只有二个值，这可以简单的模型化成开关的状态（开或关），而这个开关可以用一个电晶体来做电子化的实现，接下来，数百万个电晶体又可以实现成一个矽晶片。放数百万个二进位开关在单一晶片上，就是转成数位这件事的优势。

回到调变的观念上，调变被点出可应用在使用正弦波的情况下，因为正弦波可以表示成三角函数，可能是正值或负值，所以数位调变需能够表示负的二进位值，从表示法的角度来看，这真是简单──放一个负号在最左位元的左边。但是从实作的观点来看，这个负号是不存在的。

为解决负数的难题，二补数二进制表示法的概念便被发展出来。在这种表示法系统中，最左边位元带着正/负数的资讯，我们常把最左边位元称为最大有效位元或MSB，其他的位元则带着量值的资讯。二补数的MSB若为0，则代表正数，若MSB为1，则代表负数。当MSB为0（正数），非MSB位元则代表一般二进制的数字，举例来说，二补数为0101则十进制数字为+5。如果MSB为1（负数）的话，则非MSB位元要先反相（换言之0变成1）后再加1，举例来说，二补数为1101，则十进制数字为-3，最高位元表示为负值，其他的位元（101）被反相为010或十进制的2，再加1后结果为3，所以最后结果为-3。 ，虽然看起来很难懂，但在硬体上，使用这样基本的数字建构方块，可以简单的实作出来。

值得注意的是，将类比的功能用数位来实现需要一些妥协，举例来说，类比信号不是一个数量，而是个物理量。反之，数位信号是一个数量，只适合模仿类比信号。数位系统依赖绝对数值精密度与适度数值精密度之间的妥协。举例来说，类比正弦波信号的大小值是由无穷多个数字构成的，也就是说，可以把一个类比正弦波看成是由无限个小步阶所构成的。假如选择较大的步阶，便牺牲了精确度而以较少的数字来表示纯类比波形。实际上，可完全用很小（但有限）的步阶加上一些杂讯（即每一个步阶与理想类比值之间的偏离值）来换取绝对的纯类比正弦波。步阶的多少直接与数位解析度相关。解析度是用来表示类比信号全大小范围所用的位元数，举例来说，一个10位元二进值能够表示出类比信号的精密度介于1至210（或1/1024），约0.1 ％。

取样数位信号

数位调变完全依照取样定理的基础理论。取样这个题目太过于广大，这里无法完全讲到，但简要概述可用来厘清其缘由。因为主题为调变，会使用一个正弦波信号做为模型，(图二)(a)是以图形方式表示的正弦曲线连续时间图。表示于水平轴的任一瞬间t，正弦曲线的大小值表示在垂直轴。 (图二)(b)表示一正弦曲线的均匀取样。注意其大小值只有在一定的离散时间点──即取样的瞬间才能知道，而取样的时间点为时间的均匀分布。取样定理说明只要至少有两个取样信号瞬间发生在被取样的正弦曲线完整周期内，则正弦曲线将可以由两个取样点完整重组。

《图二 正弦曲线(a)连续时间图(b)均匀取样》

让取样如此吸引人的，就是如何将大小值的取样值编码成二补数的二进值，所以从数位的观点来看，假如我们产生一组适当的数列值，我们便可以产生一个数位正弦波，但我们为什么要一开始就产生一个数位正弦波呢？回顾一下，调变需要载波信号，例如正弦波。在类比的领域中可以用工作在某个频率的振荡电路实做出来，但是在数位的领域中，就需要实做出几种数位振荡器出来，结果只要用数值控制振荡器，就可以轻松的实做出来。

数值控制振荡器（NCO）

在简化的结构中，NCO是正弦曲线取样值的查询表，通常是用一个ROM（唯读记忆体）、一个用来求ROM位址的二进计数器、一个驱动计数器的时脉信号来实现，如(图三)。在ROM上的连续位址包含完整正弦曲线的连续取样值，当计数器开始动作时，每数一下就会定址到下一个ROM的位址，使得对应的数字出现在ROM输出，计数器的时脉速率就是用这个系统的取样速率。假如检查ROM的输出一段时间，可看到一串数列随着取样速率在做更新。输出的数字范围会视ROM的位元宽度而定，因此ROM输出位元宽度决定了整个数位正弦波的解析度，举例来说，如果ROM的输出位元数为10位元，则使用二补数来表示的话，我们要表示的正弦波会产生数字范围从－512至＋511之间的大小值。

《图三 数值控制振荡器NCO架构图》

这个特定的NCO范例只能产生特定频率的数位正弦波，也就是说，取样率除以存在ROM里面的取样点数（假设存在ROM的取样点是为一整个周期的正弦波）。更有弹性的NCO使用一种相当大的ROM（或许可容纳4096个取样点或更多），而计数器能够使用一些输入模数来计数，也就是说，可以由频率控制参数来设定一个一数或两个、三个、四个、五个一数等等。举例来说，假如取样频率为10MHz，ROM的字组长度为4096字组，频率控制参数为1，那么输出正弦波的频率就变成10 MHz/4096 or 2.44 kHz，假如频率控制参数为5，则在每一个输入时脉周期，计数器一次跳5步，这使得ROM为每跳5个位址所存的值会依次被读出，最终的结果为正弦波有较粗糙的大小值步阶，但有较高的频率，特别的是，新正弦波的频率将变成10 MHz/（4096/5）or12.21 kHz。一般而言，可以表示成：fs(N/M)，其​​中fs为系统的取样频率，N是频率控制参数，M是ROM的字组长度。

在本文中可以发现这个题目有很多变化，重点在NCO提供一种在特定的取样频率，但又有可程式的频率，以产生数位正弦波的方法，然而这个频率是受到一个整数倍数（即取样率除以ROM字组的长度）所限制的，这个数最大值可以取到取样率的1/2（即倪奎斯特限制）。 ROM的长度（定址范围）越长，频率解析度越好；ROM的输出字组位元数越多，大小值的解析度越好。

数位正交调变

前面所叙述的部份提供了基本原理以了解调变、数位领域的数字表示法、一种产生取样正弦波的方法。要确实了解数位调变，这三个观念是必要的。数位正交调变器的基本建构方块基本上与图一(b)所示的类比单旁频带调变器是相同的。

(图四)为数位正交调变器图，其主要的差异为不同于两个乘法器、一个加法器及载波信号完全是由数位建构方块所产生的。

《图四 数字正交调变器架构图》

图四所示的模型可以简单的用数位硬体来实做。数位NCO的组装已于先前讨论过，乘法器与加法器也可以简单的用基本的数位建构方块（AND、OR及NOT单元）来设计，唯一的实际限制是可接受的最大取样频率（主要依半导体制程而定）及功率消耗。

有一条基本规则在数位调变是不能忽略的，那就是数位载波信号与数位讯息信号两者必须被取样于相同的速率，在同一个例子中，讯息信号是由取样速率低于载波取样速率的数位信号所组成，这种情况下讯息信号必须要数位式增加取样以配合载波的取样速率。但是这又完全是另一个主题，较本文更进一步。在已知的技术文件中，取样频率转换技术很难得看到。

回到图四，数位正交调变有两个讯息信号输入：X及Y，除此之外，两个NCO产生正交载波信号。相同的系统时脉及频率控制参数送入NCO，但是一个NCO用的是存有余弦波的ROM，另一个NCO用的是存有正弦波的ROM。载波频率fc是由频率控制参数决定。

一般情况下，X及Y输入信号是预期的正交成份，例如，如果X是频率fm的数位余弦波，而Y是同频率的数位正弦波，那么正交调变器的输出是单旁频带音调的频率fc－fm。如要用在其他的架构上，稍为修改程式即可，系统的取样频率（Fs）与载波频率（Fcarrier）两者皆可被改变，但是注意到，实际载波频率（Fc）并没有完全与Fcarrier的输入值相配合，这是由于NCO所用的频率控制参数（FCN）是用于二进计数器的模数值，必须是整数值，这个限制意谓着只会有有限的频率解析度，也就是说，只会产生由符合的FCN值产生出来的频率。

结论

本文已经展示数位正交调变的关键要点，由于现今的半导体制程使速度加快，以数位实作调变功能终于可以比类比技术更好。只要数位半导体技术继续推升工作频率，这样的趋势将持续下去，要记得在数位领域实作类比函数，最终结果是一组数位时间数列（采样过程的自然结果），然而这个数字流还是必须转换回类比波形以为实际应用，因此数位对类比转换器（DAC）用来转换数位信号到类比领域。类比电路本身还是一个有用的角色，特别是数位类比转换器。事实上当取样频率与解析度都增加时，高解析度DAC的需求就变得非常明显了。 （作者任职于美商亚德诺）